卫星轨道之从开普勒到近代航天

轨道是卫星在太空中运行所形成的固定轨迹，类似于高铁奔跑在铁轨上一样。沿着这条轨迹，卫星围绕在地球或者其他天体飞行，就像月亮绕着地球、地球绕着太阳飞行一样。与地面交通工具不同的是，卫星以数公里每秒的速度（比如 7.6km/s）飞速疾驰在太空中的超级跑道上，而地面交通工具则以龟速蠕动在地球表面。

那么，问题来了，卫星为什么能在太空中持久飞行？卫星的超级跑道如何描述？航天工程师们都设计了哪些实用的卫星轨道来完成太空任务？且听轨道君细细道来。

图 1: 卫星运行在太空中的超级跑道上

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1 开普勒的彩蛋

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全世界的 People 都知道砸大牛的苹果，却鲜为人知开普勒的彩蛋。我相信很多同学都知道开普勒，但卫星在太空飞行与开普勒有啥关系呢？

图 2: 约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571-1630），德国天文学家

1609 年，开普勒出版《星际使者》一书，书中包含了他所提出的行星运动三大定律的前两个定律。十年后的 1619 年，他发表了第三个定律。开普勒定律定性地揭示了行星围绕太阳的运行规律，使人们明晰了对行星运动的认识。更为重要的是，开普勒定律这一大大的三色彩蛋为大牛的苹果提供了先验基础，因此开普勒被誉为航天动力学这门天文学分支学科的鼻祖。

为纪念鼻祖，美国宇航局将一个太空望远镜命名为开普勒号，并给这一寻找系外类地行星的任务取名为开普勒计划，被寻得的位于宜居带的系外行星都以开普勒开头。美国佬搞出这么大的动静，咋们也不能示弱，为了纪念鼻祖，咱们来温习一下开普勒三大定律。

• 椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
• 面积定律：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
• 调和定律：所有行星绕太阳一周的恒星时间（$T$）的平方与它们轨道长半轴（$a$）的立方成比例，即

公式 $1$. 开普勒三大定律之调和定律

$$\frac{T^{2}_{1}}{T^{2}_{2}} = \frac{a^{3}_{1}}{a^{3}_{2}}$$

• $T$：恒星绕太阳一圈的恒星时间，即轨道周期；
• $a$：恒星绕太阳运行轨道的半长轴，与椭圆中的定义一致。

1,2,3，重点来了。开普勒同学发现了行星运动三定律，大牛站在他的肩膀上发现了万有引力定律，进一步定量地揭示了万物运动的普世规律。

图 3: 万有引力示意图

全世界的 People 都知道的万有引力定律就是两个东东相互吸引，然后其中一个东东吨位不够，只能寄人篱下，围绕大哥转啊！转啊！转。我们的卫星就是小吨位的东东，地球就是大哥。

3,2,1，重点又来了。根据牛顿的万有定律可知，在忽略空气阻力的情况下，水平扔出去的物体将沿抛物线运动。

图 4: 水平扔出去的物体将沿抛物线运动

由于地球总体上呈球形，于是有意思的事情发生了。地球表面每 8km 水平距离存在 5m 的垂直高度差，也就是说，如果扔物体的水平速度达到每秒 8km/s，那么抛出去的物体将不会落到地表，而是一直飞下去。

图 5: 地球曲率

当然，空气阻力一直被忽略。如果在距地表不高的地方扔物体，空气阻力会逐渐使其减速，那么如果在太空中扔呢？Bingo，太空中没有大气阻力（严格来说是大气阻力微小），所以扔出去的物体将一直绕着地球飞行。把我们在太空中扔一个速度高达 8km/s 的物体，换成用运载火箭将卫星加速至 8km/s，那么卫星就能在太空中持久飞行。

图 6: 太空加农炮

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2 如何描述卫星轨道

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第一个问题顺利 XO，下面进入第二个：卫星的超级跑道如何描述？

航天动力学中用轨道根数（Orbital Elements）描述卫星轨道，仅用特定的六个根数就定义卫星轨道的几何形状和大小以及卫星飞行方向和所处位置，以唯一确定卫星轨道。我们来数一数这六根数，一根…两根…三根……

轨道第一个根数

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轨道的第一个根数是半长轴 $a$ 这个根数决定了卫星轨道形成的椭圆长半轴的长度，及轨道的大小。同时，这个根数也决定了发射卫星到这个轨道需要多少能量，因为根据活力公式，一个确定轨道的机械能是固定的。

图 7: 轨道的第一个根数

不同任务类型的卫星，或者运载约束，工作在不同的轨道高度上。发射到不同轨道所需要的能量都需要依靠半长轴来计算。如下图所示，飞得越高的卫星速度越慢，也是依据半长轴计算而来的。

图 8: 轨道高度 vs. 轨道速度曲线

轨道第二个根数

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轨道的第二个根数为偏心率 $e$ ，跟椭圆的扁率是一个意思，代表轨道偏心的程度。偏心率近似等于 0 的轨道一般称为近圆轨道，此时地球的质心几乎与轨道几何中心重合。偏心大于 0 小于 1，轨道就呈椭圆状，偏心率越大轨道越扁。

图 7: 轨道的第二个根数

轨道第三个根数

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轨道的第三个根数是轨道倾角 $i$，即轨道平面与赤道平面之间的夹角，用于描述轨道的倾斜程度，简单地说就是轨道平面相对于地球赤道平面是躺着的还是立着的或者是斜着的。卫星轨道的倾角决定了卫星星下点所能覆盖的地理高度，并对发射场和运载火箭的运力形成硬性约束。具体而言，若想卫星行下点轨迹覆盖高纬度地区，则卫星轨道倾角不能小于该纬度；发射场的纬度不能高于卫星轨道倾角；在半长轴和发射场相同的情况下，运载火箭发射倾角更高的卫星需要提供更多的能量。

图 8: 轨道的第三个根数

轨道第四个根数

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轨道的第四个根数是升交点赤经 $Ω$，理解这个轨道根数需要在称为惯性系的三维空间中进行。航天动力学中常常将 J2000 坐标系作为惯性系使用，J2000 坐标系它的原点在地球质心，参考平面是 J2000 平赤道面，Z 轴向北指向平赤道面北极，X 轴指向 J2000 平春分点，Y 轴与 X 和 Z 轴组成直角右手系。那么卫星在轨道上运动从南半球向北半球运动的过程中经过赤道平面所处的天球赤经和春分点之间的角度就称之为升交点赤经。

图 9: 轨道的第四个根数

轨道第五个根数

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轨道的第五个根数是近地点幅角 $υ$，卫星从升交点开始到达近地点在轨道平面内所飞过的角度，代表了轨道朝向。

图 10: 轨道的第五个根数

轨道第六个根数

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轨道的第六个根数为真近角 $θ$，这是一个时变根数，用来描述某一个确定时刻卫星在轨道中所处的位置，是地心指向卫星和指向近地点矢量之间的夹角。

图 11: 轨道的第六个根数

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3 实（花）用（式）卫星轨道锦集

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第二个问题也顺利 XO，下面实战阶段：航天工程师们都设计了哪些卫星轨道来完成太空任务？前方高能，先送一点福利自行补脑。

现代航天对卫星轨道做了全方位、无死角分类，按轨道高度可分为低轨（Low Earth Orbit，200~2000km），中轨（Medium Earth Orbit，2000~36000km），高轨（High Earth Orbit，36000km 及以上）等；按轨道偏心率可分为近圆轨道（$e$≈0），椭圆轨道（$e$≥0.001）等；按轨道倾角可分为赤道轨道（$i$≈0），极轨道（$i$≈90°）等；未完待续…😂 😂 😂

图 12: 按高度分类的轨道图谱

但实际上，近地卫星（绕地球飞行的卫星）常用的轨道就那么几种：1）地球静止轨道；2）太阳近同步轨道；3）回归轨道。不常用也有几种：1）冻结轨道；2）大椭圆轨道；3）驻留轨道；4）巡游轨道。其中，大椭圆轨道还可以细分为闪电轨道、眼镜蛇轨道和魔法轨道，虽然名字取得贼好听，但是除了老（俄）毛（罗）子（斯）和北（加）极（拿）熊（大）的部分卫星，极少有其他国家的卫星使用。下面就简单介绍一下常（实）用的和名字贼（花）好（式）听的几种轨道。

地球静止轨道

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地球静止轨道（Geostationary Earth Orbit, GEO）相信大家一定不陌生，尤其是喜欢看科幻小说的童鞋。因为这条轨道最先由科幻大师亚瑟·查尔斯·克拉克（Arthur C. Clarke）详细阐述并发表在无线世界，题为 “Extra-Terrestrial Relays – Can Rocket Stations Give Worldwide Radio Coverage?”。文章详细阐述了地球静止轨道在通信领域的巨大应用潜力，值得拍手叫绝的是，那时（1945 年）地球人还未曾向太空扔过卫星。

图 13: 科幻大师亚瑟·查尔斯·克拉克（Arthur C. Clarke）

地球静止轨道最大的特征就是轨道倾角为零且轨道周期与地球自转周期相同，即 23 小时 56 分 4 秒。如今，这条独一无二的轨道已经被人类塞满了各式各样的卫星，拥挤不堪，人们形象地称之为地球静止轨道带（Geostationary Earth Orbit Belt）。

图 13: 拥挤的地球静止轨道带

太阳同步轨道

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太阳同步轨道（Sun-Synchronous Orbits, SSO）相信大家有点陌生，类似于地球静止轨道（倾角不为零时称为地球同步轨道）每天绕地球转一圈，太阳同步轨道每年升交点赤经绕地球转一圈。由于地球每年绕太阳转一圈（即地球绕太阳运动的轨道每年升交点赤经绕太阳转一圈）…好像有点晕…所以太阳同步轨道每天升交点赤经与地球每天绕太阳转过的角度相同，约为 0.9863°/天。

公式 $2$. 太阳同步轨道升交点进动速率

$$\Delta \Omega = -2 \pi \frac{J_2 R^2_E}{p^2} \cdot \frac{3}{2} cos(i) = \frac{2\pi}{365} \approx 0.9863 ^{\circ}$$

• $J_2$ 为地球非球形引力带谐项二阶系数，约为 $1.08263 \times 10^{−3}$)；
• $R_E$ 为地球平均半径，约为 $6378.1363 km$；
• $p$ 为轨道半通径，$p = a(1-e^2)$。

太阳同步轨道的这一特性使得其广泛被低轨卫星用于实际任务，尤其是遥感卫星。因为太阳同步轨道平面始终与太阳矢量保持相对固定的夹角，所以轨道光照条件好且升交点地方时基本不变，有利于遥感卫星正常开展观测任务。

图 14: 太阳同步轨道周年运动示意图

需要专门指出的是，太阳同步轨道并非只有一条，而是一类轨道，因而轨位资源较为宽松。此外，太阳同步轨道倾角一般在 97° 左右，所以运行在该类轨道上的卫星基本上可以覆盖全球。

回归轨道

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回归轨道（Repeat-ground track orbit, RGTO）指星下点轨迹（卫星轨道在地球上的投影）周期性出现重合的一类轨道，即经过一定时间后，回归轨道星下点轨迹又重新回到原来通过的路线，期间流逝的时间称为回归周期。回归轨道可用下式加以数学描述。

公式 $3$. 回归轨道数学描述

$$\frac{\frac{N}{K}}{\omega_e - \dot{\Omega}} - \frac{1}{\dot{\omega_e} + \dot{M}} = 0$$

• $N$ 回归轨道的回归轨数，必须为整数；
• $K$ 回归轨道的回归天数，必须为整数；
• $\omega_e$ 地球自转速率；
• $\dot{M}$ 升交点赤经进动速率；
• $\dot{\omega_e}$ 近地点幅角进动速率；
• $\dot{M}$ 平近角进动速率。

回归轨道通常用用于那些对目标重访性有严格要求的一类卫星，如返回式卫星、立体测绘卫星、干涉 SAR 卫星等。我国神舟系列飞船即采用了回归轨道，以便规划返回点。

图 15: 神舟四号飞船星下点回归轨迹

大椭圆轨道

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大椭圆轨道（High Elliptical Orbit, HEO），顾名思义，就是指轨道偏心率较大的轨道。有多大呢？先看看前苏联专门为其闪电通信卫星设计的一类大椭圆轨道 — 闪电轨道（Molniya Orbits）。

图 16: 闪电轨道三维示意图

闪电轨道远地点约 46000km，近地点约 800km，偏心率约高达 0.72，轨道周期 12h，每天运行两圈。为保持近地点长期不旋转，轨道倾角被冻结在 63.4° 附近，近地点幅角被冻结在 270° 附近。从上图可见，闪电轨道绝大多数时间运行在中高纬度地区，因而适合中高纬度通信，三颗卫星组网即可实现中高纬度地区不间断覆盖，这也是前苏联设计闪电轨道的初衷。

图 17: 闪电轨道星下点二维轨迹图

由于闪电轨道在闪电卫星的成功应用，后续轨道工程师们又设计了眼镜蛇轨道和魔法轨道。

眼镜蛇轨道（Cobra Orbits），是闪电轨道的缩小版，远地点轨道高度只有 27000km，轨道周期 8h，每天运行三圈。该轨道在远地点附近对 3 个经度相互间隔 120° 的中高纬度区域提供大约 4h 的连续覆盖。因此，6 颗卫星组网颗实现中高纬度地区不间断覆盖。

图 17: 眼镜蛇轨道星下点三维轨迹图

魔法蛇轨道（Magic Orbits） ，是闪电轨道的微缩版，远地点轨道高度只有 7800km，轨道周期 3h，每天运行八圈。该轨道在远地点附近对 8 个经度相互间隔 45° 的中高纬度区域提供大约 1h 的连续覆盖。因此，24 颗卫星组网颗实现中高纬度地区不间断覆盖。

图 18: 魔法轨道星下点三维轨迹图

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结束语

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好了，轨道君已经带大家从开普勒超级快地跑到了现代航天，打完收工，让喵星人跟大家拜了个拜！